Brownian Motion Forexpros

Quero simular trajetórias de preços de ações com diferentes processos estocásticos. Comecei com o famoso movimento geométrico browniano. Eu simulei os valores com a seguinte fórmula: Rifrac - Si mu Delta t sigma varphi sqrt mu amostra média sigma amostra volatilidade Delta t 1 (1 dia) varphi distribuídos normalmente número aleatório Eu usei um modo curto de simular: Simular números aleatórios normalmente distribuídos com Média da amostra e desvio padrão da amostra. Multiplicar isso com o preço das ações, isso dá o incremento de preço. Calcular Soma de aumento de preço e preço das ações e isso dá o valor do preço da ação simulada. (Esta metodologia pode ser encontrada aqui) Então eu pensei que eu entendi isso, mas agora eu encontrei a seguinte fórmula. Que é também o movimento browniano geométrico: St S0 expleftleft (mu - frac direito) t sigma Wt direito Eu não entendo a diferença O que a segunda fórmula diz em comparação com a primeira Devo ter tomado a segunda Como devo simular com A segunda fórmula Para complementar o comentário SRKX, vou tentar explicar a prova matemática simples entre ambas as fórmulas. Eu suponho que você conhece o movimento browniano geométrico ou aritmético: Geométrico: começa dS mu S dt sigma Sdz fim Aritmética. Begin dS dt mu dt sigma dz end Então, outra importante ferramenta estocástica que você precisa saber é o chamado Ito Lemma. Falando francamente, se uma variável aleatória x segue um processo Ito. (Drift a (x, t) et variância b (x, t)): Se substituímos x pelo preço da ação e tomamos seu logaritmo: G ln (S). Nós também sabemos. Começar dS mu S dt sigma Sdz fim, em seguida, um mu S et b sigma S e começar frac frac, frac G - frac, frac 0 end usando Ito lemma. Assim, se investigarmos a variação de ln (S) (G) entre a data zero e a data T. começam ln (S) - ln (S) simphi (mu-frac) T , Sigma sqrt end início ln (S) sim philn (S) (mu - fração) T, sigma sqrt end Se integrarmos. S (t) S (0) exp) t sigma (z (t) - z (0)) fim ou início S (t) S (0) exp) t B final onde B é um movimento browniano. Respondeu Jan 27 14 at 17:10 Eles não serão os mesmos. Se você executar uma simulação discreta, obterá o processo de preço real (ou um exemplo de um caminho real) para o valor futuro do estoque usando a medida de probabilidade real. Se você fizer a mesma coisa usando a solução de formulário fechado, o caminho será muito semelhante, mas irá drift para baixo. Por que eles são diferentes Para vê-lo facilmente, construir um modelo de folha de cálculo com um gráfico que mostra tanto o caminho real e o caminho modelado (sendo este o último com e. Então conecte talvez 5 para r (ou mu, eles são os mesmos).Em seguida, executá-lo usando sigma0 e talvez sigma40.Ele ficará claro que sem risco (sigma0) o caminho é apenas StB0e, onde B0 é o preço da ligação no tempo t0.Leva-se em valor para retornar a taxa livre de risco Em um único período (um ano), o que faz sentido. Mas, com sigma40, o processo de preço modelado para uma ação que começa com o preço B0 flui para baixo. Todo o ponto de uma medida e modelo neutro ao risco é que você desconta os montantes futuros por A taxa de risco neutro ou livre de risco. Não fazer isso real, ou fazer o estoque esperado retorno o mesmo que um vínculo. É apenas torna consistente. Assim imagine um estoque com um preço inicial de S0.Se o estoque Tem um risco maior do que a obrigação (o que deve) e os investidores em equilíbrio têm lance o preço a um ponto assim que se espera ter um retorno maior do que a obrigação para compensar o risco, deve ser que o estoque tem um preço de Desconto para o título se os investidores esperam que o valor futuro seja igual. Assim, se os investidores esperam B S então S0ltB0. Em essência, o estoque é fixado o preço hoje em um disconto à ligação. A solução de forma fechada faz tudo em um espaço de risco neutro. Assim, se começarmos com S0B0, a trajetória de obrigação do preço Bt deve descontar de volta para B0 quando a taxa livre de risco é usada. Como resultado, o valor futuro do estoque ao mesmo tempo deve ser inferior a Bt, de modo que ele descontos de volta para um menor valor em t0 usando r como a taxa de desconto para ganhar um retorno que compensa o risco. Simplesmente, se você rolar para a frente uma simulação o estoque superará o bond em média, mas se você vir um modelo de preço sob a neutralidade de risco o trajeto deve ser tal que quando você desconta valores futuros a hoje deve dar-lhe um valor justo hoje para O estoque. Este é um pouco de sleight matemático da mão mas tudo trabalha para fora o mesmos. Assim, por exemplo, se B0100 e r5 o valor futuro da obrigação em um ano é 105 e seu valor presente é 100. Mas o valor futuro da ação deve parecer um número menor (digamos, talvez, 94) para que O preço de hoje, S0, é talvez 89 ou alguns tal. A solução de formulário fechado não lhe dá o modelo de preço real. Dá-lhe um modelo futuro do preço que permita que você avalie um estoque como se a taxa risk-free pudesse ser usada descontar o valor futuro para começar o valor atual correto. Eles são realmente o mesmo modelo apenas expressa de forma diferente. Movimento Browniano movimento browniano, também chamado movimento Browniano. Qualquer de vários fenômenos físicos nos quais alguma quantidade está constantemente sofrendo pequenas flutuações aleatórias. Foi nomeado para o botânico escocês Robert Brown. O primeiro a estudar tais flutuações (1827). (Esquerda) Movimento aleatório de uma discrepância aleatória Brownian particle (right) entre o molecular Se um número de partículas sujeitas ao movimento browniano estão presentes em um dado meio e não há direção preferencial para as oscilações aleatórias, então durante um período de tempo o As partículas tenderão a ser espalhadas uniformemente por todo o meio. Assim, se A e B são duas regiões adjacentes e, no tempo t. A contém duas vezes mais partículas do que B. Naquele instante, a probabilidade de uma partícula deixar A entrar em B é duas vezes maior que a probabilidade de que uma partícula deixe B para entrar em A. O processo físico no qual uma substância tende a se espalhar constantemente de regiões de alta concentração para regiões de menor concentração é chamado de difusão. Portanto, a difusão pode ser considerada uma manifestação macroscópica do movimento browniano ao nível microscópico. Assim, é possível estudar a difusão simulando o movimento de uma partícula browniana e computando seu comportamento médio. Alguns exemplos dos inúmeros processos de difusão que são estudados em termos de movimento browniano incluem a difusão de poluentes através da atmosfera. A difusão de furos (regiões de minuto em que o potencial de carga elétrica é positivo) através de um semicondutor. E a difusão de cálcio através do tecido ósseo em organismos vivos. Não seria uma primeira vez que uma formulação desenvolvida para fenômenos em um campo é usada com sucesso em outro, ela ainda tem um nome, e é chamada de analogia. Existem muitos exemplos de analogias a formulação para resolver estruturas mecânicas estáticas é o mesmo que o usado para resolver notícias de redes elétricas difusas como tinta em água parada, e tantos outros. Aqui estamos estabelecendo a analogia das mudanças no preço de mercado FOREX para o movimento browniano. Também analogias são feitas não apenas para o gozo da simetria da natureza, mas geralmente após alguma finalidade prática. Neste caso, queremos saber quando um algoritmo de comércio não é susceptível de lucro e, portanto, negociação deve ser colocado em espera. O movimento browniano Movimento browniano (nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown) originalmente se referia ao movimento aleatório observado ao microscópio de pólen imerso em água. Isto era intrigante porque a partícula do pólen suspendida na água perfeitamente imóvel não teve nenhuma razão aparente para mover tudo. Einstein assinalou que esse movimento foi causado pelo bombardeio aleatório de moléculas de água (excitadas pelo calor) no pólen. Era apenas o resultado da natureza molecular da matéria. A teoria moderna chama-o um processo estocástico e provou-se que pode ser reduzido ao movimento um walker aleatório. Um caminhante aleatório unidimensional é aquele que é tão provável dar um passo para frente como para trás, digamos eixo X, a qualquer momento. Um walkman bidimentional aleatório faz o mesmo em X ou Y (veja a ilustração). Os preços das ações mudar ligeiramente em cada transação, uma compra irá aumentar o seu valor de uma venda vai diminuí-lo. Sujeito a milhares de operações de compra e venda, os preços das ações devem mostrar um movimento browniano unidimensional. Este foi o tema de Louis Bachelier tese de doutorado em 1900, a teoria da especulação. Apresentou uma análise estocástica dos mercados de ações e opções. C urrency taxas devem se comportar muito como uma partícula de pólen na água também. Espectro Browniano Uma propriedade interessante do movimento browniano é seu espectro. Qualquer função periódica no tempo pode ser considerada como a soma de uma série infinita de funções seno / cosseno de freqüências múltiplas ao inverso do período. Isso é chamado de série de Fourier. O conceito pode ser estendido a funções não periódicas, permitindo que o período vá para infinito, e esta seria a integral de Fourier. Em vez de uma seqüência de amplitudes para cada freqüência múltipla você lida com uma função da freqüência, esta função é chamada de espectro. A representação do sinal no espaço de freqüência é a linguagem comum na transmissão de informação, modulação e ruído. Equalizadores gráficos, incluídos até mesmo no equipamento de áudio doméstico ou programa de áudio do PC, trouxeram o conceito da comunidade de ciência para a família Presente em qualquer sinal útil é ruído. Estes são sinais indesejáveis, aleatórios na natureza, de origens físicas diferentes. O espectro do ruído relaciona-se com a sua origem: O ruído de J ohnsonNyquist (ruído térmico, ruído de Johnson ou ruído de Nyquist) é o ruído electrónico gerado pela agitação térmica dos portadores de carga (normalmente os electrões) dentro de um condutor eléctrico em equilíbrio, Acontece independentemente de qualquer tensão aplicada. O ruído térmico é aproximadamente branco. O que significa que a densidade espectral de potência é igual em todo o espectro de freqüência. Flicker ruído é um tipo de ruído eletrônico com um 1 / f, ou espectro rosa. Portanto, é freqüentemente referido como ruído 1 / f ou ruído rosa. Embora esses termos tenham definições mais amplas. Ocorre em quase todos os dispositivos eletrônicos. E resulta de uma variedade de efeitos, tais como impurezas num canal condutor, geração e ruído de recombinação num transistor devido à corrente de base, e assim por diante. Finalmente o ruído Brownian ou ruído vermelho é o tipo de ruído de sinal produzido pelo movimento browniano. Sua densidade espectral é proporcional a 1 / f 2. significando que ele tem mais energia em freqüências mais baixas, ainda mais do que o ruído rosa. A importância desta discussão é que quando você calcula o espectro do sinal da taxa de FOREX acontece ter uma dependência 1 / f 2, significando que é também Brownian na natureza. Comportamento no Tempo O comportamento do mercado FOREX na ausência de eventos também se comporta perfeitamente Browniano. Isto é dizer que as taxas de FOREX se comportam como caminhoneiros aleatórios unidimentional. A densidade de probabilidade de encontrar um walker aleatório na posição x após um tempo t segue a lei gaussiana. Onde s é o desvio padrão, aquele para um walker aleatório é uma função da raiz quadrada de t e isto é o que as taxas de FOREX seguem a perfeição experimental como mostrado abaixo para EUR / USD aspas na figura 1. Uma expressão analítica para o acima Figura com as taxas em pips e t em minutos a partir de um tempo inicial t 0: Na média, há 45 EUR / USD citações em um minuto, então a expressão acima pode ser colocado em termos da citação N th após um tempo inicial. Drift e movimentos aleatórios Pode-se dizer que o movimento de partículas de pólen tem dois componentes, um aleatório na natureza descrito acima, mas se o líquido tem um fluxo em alguma direção, então um movimento de deriva é sobreposto ao Browniano. O mercado de FOREX apresenta ambos os tipos de movimento, uma freqüência mais alta componente aleatória e uma moção mais lenta deriva causada por notícias que afetam as taxas. Movimento aleatório é ruim para o negócio de especulação não há maneira de um lucro médio em um mercado perfeitamente aleatório. Apenas movimento de deriva pode render lucros. Aleatoriedade de mercado não é constante no tempo e nem é movimento de deriva. Durante eventos de notícias, os movimentos de deriva são grandes e é durante os eventos que os lucros podem ser feitos, mas há eventos mais limpos em que os algoritmos automáticos funcionam melhor e existem sujos, com muita aleatoriedade, que podem levar o algoritmo mais inteligente em Perdendo Em um sistema físico, a intensidade do movimento browniano de uma partícula pode ser tomada como o quadrado médio da sua velocidade aleatória e isto é encontrado proporcional à temperatura e inversamente à massa das partículas. LtVrdm 2 gt 3KT / m A velocidade aleatória é a diferença da velocidade total menos a velocidade média ou de deriva. O verdadeiro sentido para uma velocidade de deriva seria a velocidade média de um grande número de partículas em determinado momento que indicaria que todo o corpo de partículas líquidas e suspensas está se movendo como um todo. Mas, como a velocidade aleatória deve ser média no tempo até zero, a média da velocidade de uma única partícula no tempo também é igual à velocidade de deriva. Na analogia do mercado FOREX, a taxa do par de moedas é a posição dimensional das partículas e assim, a velocidade a qualquer momento t é o movimento da citação desde a última citação no tempo t 0 dividido pelo intervalo de tempo. A velocidade média seria a média móvel exponencial das aspas. A temperatura do par de moedas Tcp seria então: Tcp (m / 3K) ltVrdm 2 gt A massa de um par de moedas é uma magnitude a ser definida, então a constante de Boltzman não tem significado aqui. Ainda assim, a intensidade média de longo prazo do movimento de taxa Browniano é observada para depender do par de moedas, então eles parecem mostrar massas diferentes. Encontrar a massa para cada par de moedas permitiria ter uma referência comum para a temperatura. Se tomarmos a massa de EUR como 1, então: As massas acima rendem uma temperatura média similar a 300 K que é igual à temperatura ambiente na escala de Kelvin que corresponde a 27 graus Celsius. or 80.6 Fahrenheit. Mas além de fanciness não dá qualquer visão mais profunda sobre o problema. Fazendo (m / 3K) 1, torna-se uma temperatura que é igual à variância das velocidades. Uma vez que a raiz quadrada da variância é o desvio padrão, tal definição de temperatura dá uma idéia de quão intenso é o movimento aleatório em pips. segundo. Detecção de eventos e temperatura de moeda Um evento de notícias que afeta o valor do dólar dos EUA pode ser detectado quando suas taxas para o resto das principais moedas mudam consistentemente. Em outras palavras, quando os movimentos de taxa se correlacionam. (Veja Apêndice A sobre o cálculo do Gatilho de Eventos) Uma expressão numérica dessa correlação é a média da diferença em relação à EMA (Exponential Moving Average) em relação a todas as principais moedas. O problema com esta abordagem é que as moedas significativas a considerar não são que muitos, na verdade, apenas 6 pares podem ser usados. Uma média sobre uma amostra tão pequena não é imune contra movimento aleatório e propensa a produzir falsos positivos. A detecção pode ser melhorada se a contribuição para a média for ponderada inversamente pela temperatura dos pares. Mais precisamente: ponderado pela probabilidade da velocidade da velocidade observada não ser devida à natureza browniana do movimento. Sabendo que a distribuição de velocidade em movimentos brownianos é gaussiana, na ausência de um evento, a probabilidade de observar uma velocidade abaixo de um valor V pode ser calculada pela área sob a curva de densidade de probabilidade Gaussiana: Em palavras, a curva está nos dizendo: Considere o par EUR / USD que normalmente mostra um ltVrdm 2 gt de 2,94 pips / segundo, as velocidades sob este valor são observadas 68,2 do tempo, além de apenas 31,8. Então, é justo dizer que se uma velocidade observada estiver acima, digamos 6, é muito improvável (4.4) que ela venha da aleatoriedade. A expressão matemática da probabilidade de uma velocidade V, não sendo aleatória é: P erf ((V 2 / ltVrdm 2 gt)) Onde erf (x) é conhecida como função de erro. A média ponderada de correlação será agora: APÊNDICE A O Acionador de Eventos